مطالعه رسته هموتوپی نمایش های یک کویور

فرض کنید r یک حلقه و q یک کویور دلخواه باشند. رسته نمایش های q توسط-r مدول ها و-rهمریختی ها که با rep (q ,r) نشان داده می شود یک رسته ی گروتندیک است. در این پایان نامه به بررسی برخی مباحث مرتبط با جبر همولوژیک نسبی در این رسته می پردازیم. به این منظور رسته ی هموتوپی همبافت ها از نمایش های تصویری و تزریقی q که به ترتیب با k(prj q) و k(inj q) نشان داده می شوند را در نظر می گیریم. زیر رسته هایی از دو رسته ی اخیر که شامل همبافت های تماماً دقیق بوده و به ترتیب با k_tac (prj q) و k_tac (inj q) نشان داده می شوند از اهمیت خاصی برخوردار هستند. ابتدا اشیای رسته های مذکور، یعنی همبافت های تماماً دقیق را مورد مطالعه قرار داده و رده بندی هایی برای چنین همبافت هایی بر حسب خواص موضعی آن ها ارائه می کنیم. یکی از ابزارهای اصلی جهت انجام این کار، تابعگرهای الحاقی چپ و راست تابعگر تحدید می باشند. سپس رده بندی های مذکور را به کار بسته و بحث وجود پیش پوشش های گرنشتاین تصویری را در رسته ی rep (q ,r)مورد توجه قرار می دهیم. نشان داده می شود که با در نظر گرفتن برخی شرایط بر حلقه ی زمینه ی r یا کویور q ، می توان وجود چنین اشیایی را در rep (q ,r) نتیجه گرفت. همچنین پیش پوشش گرنشتاین تصویری برخی نمایش های خاص کویور q را برحسب ویژگی های موضعی آن توصیف خواهیم کرد. وجود پیش پوش های گرنشتاین تزریقی در رسته ی rep (q ,r) را نیز به طور اجمالی مورد بررسی قرار می دهیم. با توجه به این که اشیای گرنشتاین رسته ی rep (q ,r) با استفاده از همبافت های تماماً دقیق تعریف می شوند، توصیف چنین همبافت هایی می تواند منجر به شناسایی اشیای گرنشتاین گردد. نشان می دهیم که چگونه می توان اشیای گرنشتاین تصویری، گرنشتاین تزریقی و گرنشتاین یکدست رسته ی rep (q ,r) را بر حسب خواص موضعی آن ها رده بندی کرد. سرانجام با در نظر گرفتن شرایطی برحلقه ی r نشان می دهیم که rep (q ,r) یک رسته ی گرنشتاین است اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تصویری q تماماً دقیق باشد اگر و تنها اگر هر همبافت دقیق از نمایش های تزریقی q تماماً دقیق باشد. به این ترتیب قضیه ی مهمی از کروزه و آینگار را تعمیم می دهیم. در پایان چگونگی انتقال خاصیت گرنشتاین مجازی از رسته ی r-مدول ها به رسته ی rep (q ,r)را مورد توجه قرار می دهیم.